已知曲線c上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離等于到l：x=-2的距離，設(shè)直線l1：y=2x+m與曲線c交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2
15
，
（Ⅰ） 求曲線c的方程．
（Ⅱ） 求直線l1的方程．
分析：（I）由拋物線的定義可知，曲線c是以F（2，0）為焦點(diǎn)，l：x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，求出P，可得拋物線方程；
（II）將直線方程代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出弦AB的長，確定m的值，可求真相方程．
解答：解：（Ⅰ）由拋物線的定義可知，曲線c是以F（2，0）為焦點(diǎn)，l：x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，∴P=4，
因此曲線c的方程是y2=8x                                        
（Ⅱ）將y=2x+m代入y2=8x 得4x2+（4m-8）x+m2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則△=（4m-8）2-16m2＞0⇒4-4m＞0⇒m＜1，
且x1+x2=
8-4m
4
=2-m，x1x2=
m2
4
，
由|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
5
×
(x1+x2)2-4x1x2
=2
5
×
1-m
=2
15
，
解得m=-2滿足m＜1，
所求直線方程是2x-y-2=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．解答本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理求|AB|，求得m一定要驗(yàn)證滿足條件△＞0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線l：x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）斜率為1的直線l過點(diǎn)F，且與曲線C交與A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（2，2）的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)
AP
=λ
PB
．當(dāng)△AOB的面積為4
2
時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M（0，
1
2
）的距離與到直線y=-
1
2
的距離相等．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A1（x1，0），A2（x2，0）是x軸上的兩點(diǎn)（x1+x2≠0，x1x2≠0），過點(diǎn)A1，A2分別作x軸的垂線，與曲線C分別交于點(diǎn)A1′，A2′，直線A1′A2′與x軸交于點(diǎn)A3（x3，0），這樣就稱x1，x2確定了x3．同樣，可由x2，x3確定了x4．現(xiàn)已知x1=6，x2=2，求x4的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•松江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)F（1，0），求
OA
•
OB
的值；
（3）若
OA
•
OB
=-4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點(diǎn)F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)，求
OA
•
OB
的值；
（3）若曲線C上不同的兩點(diǎn)M、N滿足
OM
•
MN
=0，求|
ON
|的取值范圍．

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