Question

已知曲線C₁：

x= 1 2 cosα y=3sinα

（α為參數），曲線C₂：ρsin（θ+

π

4

）=

2

，將C₁的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的

1

3

得到曲線C₃．
（Ⅰ）求曲線C₃的普通方程，曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點P為曲線C₃上的任意一點，Q為曲線C₂上的任意一點，求線段|PQ|的最小值，并求此時的P的坐標．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）通過變換求出曲線C₃的參數方程然后求解它的普通方程，利用極坐標與直角坐標的關系，直接求解曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）點P為曲線C₃上的任意一點，Q為曲線C₂上的任意一點，線段|PQ|的最小值，轉化為圓的圓心到直線的距離減去半徑，利用直線的垂直關系，即可并求此時的P的坐標．

解答： （本題滿分10分）
解：（Ⅰ）曲線C₁：

x= 1 2 cosα y=3sinα

（α為參數），將C₁的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的

1

3

得到曲線C₃．

x=cosα y=sinα

，∴曲線C₃：x²+y²=1，
曲線C₂：ρsin（θ+

π

4

）=

2

，即

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=

2

，
∴曲線C₂：x+y=2-----------（5分）
（II）設P（cosα，sinα），則線段|PQ|的最小值為點P到直線x+y=2的距離．
轉化為圓的想到直線的距離減去半徑，
∴|PQ|min=

|0+0-2|

1+1

-1=

2

-1，
直線x+y=2的斜率為-1，所以QP的斜率為1，P在x²+y²=1上，
所以p(

2

2

，

2

2

)-----------（10分）

點評：本題考查直線的參數方程以及極坐標方程的應用點到直線的距離公式的應用，考查轉化思想以及計算能力．