【題目】[選修4—5:參數(shù)方程選講]

在直角坐標系xoy中,曲線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是

(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;

(2)若兩曲線交點為A、B,求

【答案】(1)的普通方程是:,曲線的直角坐標方程是:(2)

【解析】

(1)將C1的參數(shù)方程兩邊平分再相減消去參數(shù)t得到普通方程,將C2的極坐標方程展開,根據(jù)極坐標與直角坐標的對應關系得出C2的直角坐標方程;
(2)求出C2的參數(shù)方程,代入C1的普通方程,根據(jù)參數(shù)的幾何意義得出交點間的距離.

(1)曲線的普通方程是:

曲線的直角坐標方程是:

(2)因為是過點的直線

所以的的參數(shù)方程為:t為參數(shù))

代入的的普通方程,得

解得,故

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【題目】、是雙曲線 的兩個焦點,上一點,若,是△的最小內角,且,則雙曲線的漸近線方程是( )

A. B.

C. D.

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【題目】已知橢圓的離心率為為橢圓的左、右焦點,過右焦點的直線與橢圓交于兩點,且的周長為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若點A是第一象限內橢圓上一點,且在軸上的正投影為右焦點,過點作直線分別交橢圓于兩點,當直線的傾斜角互補時,試問:直線的斜率是否為定值;若是,請求出其定值;否則,請說明理由.

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【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗,并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點圖(如下圖).

表中.

1)根據(jù)散點圖判斷,哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)

2)根據(jù)判斷結果和表中數(shù)據(jù),建立關于的回歸方程;

3)若單位時間內煤氣輸出量與旋轉的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知為多少時,燒開一壺水最省煤氣?

附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為,

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【題目】已知.

(1),求的取值范圍;

(2),且,證明:。

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【題目】已知橢圓的方程為,圓軸相切于點,與軸正半軸相交于、兩點,且,如圖1.

1)求圓的方程;

2)如圖1,過點的直線與橢圓相交于、兩點,求證:射線平分;

3)如圖2所示,點、是橢圓的兩個頂點,且第三象限的動點在橢圓上,若直線軸交于點,直線軸交于點,試問:四邊形的面積是否為定值?若是,請求出這個定值,若不是,請說明理由.

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【題目】矩形中, , ,點中點,沿折起至,如下圖所示,點在面的射影落在上.

(Ⅰ)求證: ;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極小值;

(Ⅱ)當時,討論的單調性;

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點,求的取值范圍.

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【題目】眾所周知,城市公交車的數(shù)量太多會造成資源的浪費,太少又難以滿足乘客的需求,為此,某市公交公司在某站臺的50名候車乘客中隨機抽取10名,統(tǒng)計了他們的候車時間(單位:分鐘),得到下表.

候車時間

人數(shù)

1

4

2

2

1

1)估計這10名乘客的平均候車時間(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替);

2)估計這50名乘客的候車時間少于10分鐘的人數(shù).

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