設(shè)p是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),x,y,z是p到三邊a,b,c的距離,R是△ABC外接圓的半徑.
證明
x
+
y
+
z
1
2R
a2+b2+c2
分析:對待證不等式
x
+
y
+
z
1
2R
a2+b2+c2
的左邊進(jìn)行配湊后應(yīng)用柯西不等式,結(jié)合三角形中邊的幾何性質(zhì)ax+by+cz=2S=2•
abc
4R
=
abc
2R
進(jìn)行放縮即得.
解答:證明:由柯西不等式得,
x
+
y
+
z
=
ax
1
a
+
by
1
b
+
cz
1
c

ax+by+cz
1
a
+
1
b
+
1
c

記S為△ABC的面積,則ax+by+cz=2S=2•
abc
4R
=
abc
2R
(5分)
x
+
y
+
z
abc
2R
ab+bc+ca
abc
=
1
2R
ab+bc+ca
1
2R
a2+b2+c2

故不等式成立.(10分)
點(diǎn)評:從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式,這個(gè)證明方法叫綜合法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知O為平面內(nèi)一定點(diǎn),設(shè)條件p:動(dòng)點(diǎn)M滿足
OM
=
OA
+λ(
AB
+
AC
),λ∈R;條件q:點(diǎn)M的軌跡通過△ABC的重心.則條件p是條件q的( 。
A、充要條件
B、充分不必要條件
C、必要不充分條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)O為△ABC內(nèi)一定點(diǎn),滿足3
OA
+2
OB
+
OC
=
0
.P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn),S△ABC表示△ABC的面積,記f(P)=(
S△PBC
S△ABC
,
S△PCA
S△ABC
,
S△PAB
S△ABC
)
,若f(P)=(
1
3
,
7
15
,
1
5
)
,則( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年陜西省高三上學(xué)期月考理科數(shù)學(xué) 題型:選擇題

已知為平面內(nèi)一定點(diǎn),設(shè)條件p:動(dòng)點(diǎn)滿足,R;

條件q:點(diǎn)的軌跡通過△ABC的重心.則條件p是條件q的                 (    )

A.充要條件                  B.充分不必要條件 

C.必要不充分條件          D.既不充分也不必要條件

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

設(shè)O為△ABC內(nèi)一定點(diǎn),滿足數(shù)學(xué)公式.P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn),S△ABC表示△ABC的面積,記數(shù)學(xué)公式,若數(shù)學(xué)公式,則


  1. A.
    點(diǎn)P與O重合
  2. B.
    點(diǎn)P在△OCA內(nèi)
  3. C.
    點(diǎn)P在△OAB內(nèi)
  4. D.
    點(diǎn)P在△OBC內(nèi)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年重慶市南開中學(xué)高三(上)11月月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

設(shè)O為△ABC內(nèi)一定點(diǎn),滿足.P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn),S△ABC表示△ABC的面積,記,若,則( )
A.點(diǎn)P與O重合
B.點(diǎn)P在△OCA內(nèi)
C.點(diǎn)P在△OAB內(nèi)
D.點(diǎn)P在△OBC內(nèi)

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