Question

現(xiàn)將三雙不同品牌的鞋排成一行，記同一雙鞋相鄰的數(shù)目為ξ．
（1）求ξ=0時的概率
（2）求ξ的分布列與期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)6只鞋全排列：|s|=6!，A_i表示第i雙相鄰的排列|A_i|=2•5!，|A_i•A_j|=2²•4!，|A_i•A_J•A_k|=2³•3!，求出|

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

|=10×4!，進(jìn)而求出ξ=0時的概率即可；
（2）首先分別求出1雙、2雙、3雙鞋相鄰時的概率，然后求出ξ的分布列，最后用ξ的值乘以其概率，求和即可求出數(shù)學(xué)期望的值．

解答： 解：（1）ξ=0表示沒有任何一雙鞋相鄰，
6只鞋全排列：|s|=6!，
A_i表示第i雙相鄰的排列|A_i|=2•5!，
|A_i•A_j|=2²•4!，|A_i•A_J•A_k|=2³•3!，
|

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

|=6!-（

c

1 3

•2•5!-

C

2 3

•22•4!

+C

3 3

•23•3!）
=10×4!，
所以P（ξ=0）=

4！×10

6！

=

1

3

；
（2）有2雙鞋相鄰時，P（ξ=2）=

(C 2 3 •A 2 2 ) (C 2 3 •A 2 2 )•2•2

6!

=

1

5

，
有3雙鞋相鄰時，P（ξ=3）=

A 3 3 •23

6!

=

1

15

，
則只有一雙鞋相鄰時，P（ξ=1）=1-

1

3

-

1

5

-

1

15

=

2

5

，
ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	2 5	1 5	1 15

E（ξ）=1•

2

5

+2•

1

5

+3•

1

15

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了分布列以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．