分析 (1)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系,寫出對應(yīng)點(diǎn)與向量的坐標(biāo),利用平面OCD的法向量證明MN∥平面OCD;
(2)利用向量的數(shù)量積求出AB與MD所成角的余弦值;
(3)利用向量$\overrightarrow{OB}$在法向量上的投影的絕對值求出點(diǎn)B到平面OCD的距離.
解答 解:(1)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系得,
A(0,0,0),B(2,0,0),$P(0{,^{\;}}\sqrt{3}{,^{\;}}0)$,$D(-1{,^{\;}}\sqrt{3}{,^{\;}}0)$,
O(0,0,2),M(0,0,1),$N(\frac{3}{2}{,^{\;}}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{,^{\;}}0)$,…(2分)
∴$\overrightarrow{MN}=(\frac{3}{2}{,^{\;}}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{,^{\;}}-1)$,
$\overrightarrow{OP}=(0{,^{\;}}\sqrt{3}{,^{\;}}-2)$,
$\overrightarrow{OD}=(-1{,^{\;}}\sqrt{3}{,^{\;}}-2)$,…(3分)
設(shè)平面OCD的法向量為$\overrightarrow n=(x{,^{\;}}y{,^{\;}}z)$,
則$\overrightarrow n•\overrightarrow{OP}=0$,$\overrightarrow n•\overrightarrow{OD}=0$,
即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}y-2z=0\\-x+\sqrt{3}y-2z=0\end{array}\right.$,
取$y=\sqrt{3}$,解得$\overrightarrow n=(0{,^{\;}}\sqrt{3}{,^{\;}}\frac{3}{2})$;…(4分)
$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{n}$=($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,-1)•(0,$\sqrt{3}$,$\frac{3}{2}$)=0,
∴MN∥平面OCD;…(6分)
(2)設(shè)AB與MD所成的角為θ,
∵$\overrightarrow{AB}=(2{,^{\;}}0{,^{\;}}0)$,$\overrightarrow{MD}=(-1{,^{\;}}\sqrt{3}{,^{\;}}-1)$,…(7分)
∴$cosθ=\frac{{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MD|}}}{{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{MD}|}}=\frac{2}{{2×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,…(9分)
∴AB與MD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$;…(10分)
(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d,則
d為向量$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow n=(0{,^{\;}}\sqrt{3}{,^{\;}}\frac{3}{2})$上的投影的絕對值,
由$\overrightarrow{OB}=(2{,_{\;}}0{,^{\;}}-2)$,得
$d=\frac{{|\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n|}}}{{|\overrightarrow{n|}}}=\frac{3}{{\frac{{\sqrt{21}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$;…(12分)
所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$.…(14分)
點(diǎn)評 本題主要考查了空間中的平行和垂直關(guān)系的應(yīng)用問題,也考查了建立空間坐標(biāo)系,利用向量法求夾角和距離的應(yīng)用問題,是綜合性題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -2k | B. | 0 | C. | 2k | D. | 4k |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
P(K2≥k) | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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