Question

11．如圖，為迎接校慶，我校準(zhǔn)備在直角三角形ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”，規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花，其余地方種草，若AB=a，∠DAB=θ，種草的面積為S₁，種花的面積為S₂，比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$稱為“規(guī)劃和諧度”．
（1）試用a，θ表示S₁，S₂；
（2）若a為定值，BC足夠長(zhǎng)，當(dāng)θ為何值時(shí)，“規(guī)劃和諧度”有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）求出△ABD的面積為，設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為t，利用三角形的相似求出S₂，然后求出S₁；
（2）由（1）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+tanθ）^{2}}{2tanθ}$-1，通過(guò)tanθ∈（0，+∞），通過(guò)基本不等式推出，當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，“規(guī)劃和諧度”有最小值，最小值是1．

解答 解：（1）∵BD=atanθ，
∴△ABD的面積為$\frac{1}{2}{a}^{2}tanθ$（$θ∈（0，\frac{π}{2}）$）…（2分）
設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為t，
則由$\frac{FG}{AB}=\frac{DG}{DB}$得$\frac{t}{a}=\frac{atanθ-t}{atanθ}$，∵t=$\frac{atanθ}{1+tanθ}$，…（4分）
∴S₂=$\frac{{a}^{2}ta{n}^{2}θ}{（1+tanθ）^{2}}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}{a}^{2}tanθ$-S₂=$\frac{1}{2}{a}^{2}tanθ$-$\frac{{a}^{2}ta{n}^{2}θ}{（1+tanθ）^{2}}$，…（6分）
（2）由（1）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+tanθ）^{2}}{2tanθ}$-1，…（8分）
∵tanθ∈（0，+∞），
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+tanθ）^{2}}{2tanθ}$-1=$\frac{1}{2}$（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$≥1，…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)θ=$\frac{π}{4}$．
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，“規(guī)劃和諧度”有最小值，最小值是1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．