Question

（本小題滿分12分）

四棱錐,面⊥面.側(cè)面是以為直角頂點的等腰直角三角形，底面為直角梯形，,∥，⊥,為上一點，且.

（Ⅰ）求證⊥；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先證⊥面，再證⊥面，進而得證；

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）面⊥面且交線為又⊥，

∴⊥面，

∴⊥，                                                           ……3分

∵⊥，，

∴⊥面，，                                          ……5分

∴⊥.                                                            ……6分

（Ⅱ）設(shè)為中點，則⊥，∴⊥面,

建系如圖，則,

∴，,                                    ……8分

設(shè)為面的法向量,

則，∴為面的一個法向量,                  ……9分

為面的法向量,                                         ……10分

∴,                                           ……11分

∴二面角的正弦值為.                                      ……12分

考點：本小題主要滿足空間中線線垂直的證明和二面角的求解.

點評：用定理證明立體幾何問題時要緊扣定理，定理中要求的條件一個也不能漏；用空間向量求解二面角時，要仔細(xì)計算，還要注意題目中的二面角時銳角還是鈍角.