Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（x∈R）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)g（x）=f（x）+2x+1在R上恒為增函數(shù)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|，定義域?yàn)镽，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)． …（3分）
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)． …（6分）
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)． …（7分）
（2）在R上恒為增函數(shù)，…（8分）
∴y=x²+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函數(shù)，且y=-x²+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函數(shù)，…（10分）
∴，…（14分）
∴-2≤a≤2． …（15分）
分析：（1）對參數(shù)a進(jìn)行討論，利用奇偶函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（2）將函數(shù)g（x）=f（x）+2x+1寫成分段函數(shù)的形式，分別確定各段的單調(diào)性，即可建立不等式組，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查分段函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是合理化去絕對值符號．