14.已知函數(shù)f(x)=(ax+1)ex
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當a>0時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上的最小值.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的定義域,求出導(dǎo)函數(shù),通過a=0,a>0,a<0,分別判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,求解單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)①當a>1時,利用f(x)的單調(diào)性,求解函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值,②當0<a≤1時,f求解函數(shù)的最小值即可.

解答 解:定義域為R,f′(x)=(ax+1)′ex+(ax+1)(ex)′=ex(ax+a+1)…(2分)
(Ⅰ)①當a=0時,f′(x)=ex>0,則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞)..(3分)
②當a>0時,解f′(x)>0得,$x>-\frac{a+1}{a}$,解f′(x)<0得,$x<-\frac{a+1}{a}$,
則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為$(-\frac{a+1}{a},+∞)$,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為$(-∞,-\frac{a+1}{a})$..(4分)③當a<0時,解f′(x)>0得,$x<-\frac{a+1}{a}$,解f′(x)<0得,$x>-\frac{a+1}{a}$,
則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為$(-∞,-\frac{a+1}{a})$,[0,1]的單調(diào)減區(qū)間為[0,1]..(6分)
(Ⅱ) ①當$\left\{\begin{array}{l}a>0\\-\frac{a+1}{a}>-2\end{array}\right.$時,即 當a>1時,f(x)在$(-2,-\frac{a+1}{a})$上是減函數(shù),在$(-\frac{a+1}{a},0)$上是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值為 $f(-\frac{a+1}{a})=-a{e^{-\frac{a+1}{a}}}$…(8分)
②當$\left\{\begin{array}{l}a>0\\-\frac{a+1}{a}≤-2\end{array}\right.$時,即  當0<a≤1時,f(x)在[-2,0]上是增函數(shù),
則函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值為$f(-2)=\frac{1-2a}{e^2}$…(10分)
綜上:當a>1時,f(x)在區(qū)間上最小值為$-a{e^{-\frac{a+1}{a}}}$
當0<a≤1時,f(x)在區(qū)間上最小值為$\frac{1-2a}{e^2}$…(12分)

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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