Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)（

2

，0）為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m（|k|≤

2

2

）與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）先由已知F（

2

，0）為橢圓的右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，可得c=

2

，

b2

a

=1，結合a²=b²+c²，解之即得a，b，從而寫出橢圓C的方程；
（Ⅱ）先對k 分類討論：當k=0時，P（0，2m）在橢圓C上，解得m=±

3

2

，所以|OP|=

2

；當k≠0時，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得|OP|的取值范圍，從而解決問題．

解答： 解：（Ⅰ）∵F（

2

，0）為橢圓的右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2．
∴c=

2

，

b2

a

=1，
∵a²=b²+c²
∴a²=4，b²=2．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）當k=0時，P（0，2m）在橢圓C上，解得m=±

3

2

，
∴|OP|=

2

；
當k≠0時，直線方程代入橢圓方程，消y化簡整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（4k²-m²-2＞0①
設A，B，P點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
則x₀=x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

．
由于點P在橢圓C上，∴

x02

4

+

y02

2

=1．
從而

4k2m2

(1+2k2)2

+

2m2

(1+2k2)2

=1，化簡得2m²=1+2k²，經檢驗滿足①式，
又|OP|=

x02+y02

=

4- 2 1+2k2

，
∵0＜|k|≤

2

2

，
∴1＜1+2k²≤2，
∴1≤

2

1+2k2

＜2，
∴

2

＜|OP|≤

3

，
綜上，所求|OP|的取值范圍是[

2

，

3

]．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的標準方程問題．當研究橢圓和直線的關系的問題時，常可利用聯(lián)立方程，進而利用韋達定理來解決．