Question

【題目】數列滿足對任意的恒成立，為其前項的和，且．

（1）求數列的通項；

（2）數列滿足，其中．

①證明：數列為等比數列；

②求集合．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見證明；②

【解析】

（1）設等差數列{an}的公差為d．根據a4＝4，前8項和S8＝36．可得數列{an}的通項公式；

（2）①設數列{bn}前n項的和為Bn．根據bn＝Bn﹣Bn﹣1，數列{bn}滿足．建立關系即可求解；

②由，得，即．記，由①得，，

由，得cm＝3cp＞cp，所以m＜p；設t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．

討論整數成立情況即可；

（1）設等差數列的公差為，因為等差數列滿足，前8項和

，解得

所以數列的通項公式為

（2）①設數列的前項和為，由（1）及 得

上兩式相減，得到

=

所以

又，所以，滿足上式，

所以

當時，

兩式相減，得， ，

所以 所以此數列為首項為1，公比為2的等比數列．

②由，得，即，∴．

令，顯然，此時變?yōu)?/span>，即，

當時，，不符合題意；

當時，，符合題意，此時；

當時，，不符合題意；

當時，，不符合題意；

當時，，不符合題意；

下證當，時，方程：

∵

∴

∴，顯然，從而

當，時，方程沒有正整數解．

綜上所述：．