Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，且滿足a₁=6，a₂，a₆，a₁₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，由a₂，a₆，a₁₄成等比數(shù)列．可得${a}_{6}^{2}$=a₂•a₁₄，即（6+5d）²=（6+d）（6+13d），化簡即可得出．
（2）b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{2}{（n+1）（2n+4）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₂，a₆，a₁₄成等比數(shù)列．∴${a}_{6}^{2}$=a₂•a₁₄，
∴（6+5d）²=（6+d）（6+13d），化為d²-2d=0，d≠0，解得d=2．
所以a_n=6+2（n-1）=2n+4．
（2）b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{2}{（n+1）（2n+4）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n═+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．