6.點M為正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球O球面上的動點,點N為B1C1上一點,NC1=2NB1,DM⊥BN,若球O的體積為9$\sqrt{2}$π,則動點M的軌跡的長度為$\frac{3\sqrt{30}}{5}π$.

分析 由題意畫出圖形,在BB1上取點P,使2BP=PB1,連接CP、DP,由線面垂直的判定和性質可得M點的軌跡為平面DCP與球O的截面圓周,求出圓的半徑得答案.

解答 解:如圖,
在BB1上取點P,使2BP=PB1,連接CP、DP,BN,
∵NC1=2NB1,∴CP⊥BN,
又DC⊥平面BCC1B1,∴DC⊥BN,則BN⊥平面DCP,
則M點的軌跡為平面DCP與球O的截面圓周.
設正方體的棱長為a,則$\frac{4}{3}π×(\frac{a}{2})^{3}=9\sqrt{2}π$,解得a=$3\sqrt{2}$.
連接OD、OP、OC,
由VO-DPC=VC-DPO,求得O到平面DPC的距離為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
∴截面圓的半徑r=$\sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}-(\frac{3\sqrt{5}}{5})^{2}}=\frac{3\sqrt{30}}{10}$.
則點M的軌跡長度為$2π×\frac{3\sqrt{30}}{10}=\frac{3\sqrt{30}}{5}π$.
故答案為:$\frac{3\sqrt{30}}{5}π$.

點評 本題考查軌跡方程,考查空間想象能力和思維能力,訓練了利用等積法求多面體體積,正確找出M點的軌跡是關鍵,難度較大.

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