【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0),離心率為 ,左準(zhǔn)線方程是x=﹣2,設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OA⊥OB.

(1)求橢圓C的方程;
(2)求△AOB面積取得最小值時,線段AB的長度.

【答案】
(1)解:設(shè)橢圓的半焦距為c,則離心率e= = ,準(zhǔn)線方程:x=﹣ =2,

解得:c=1,a= ,

由b2=a2﹣c2=1,

橢圓C的方程:


(2)解:由題意,直線OA的斜率存在,設(shè)直線OA的斜率為k,

若k=0時,則A( ,0)或(﹣ ,0),B(0,2),

此時△AOB面積為 ,AB=

若k≠0時,則直線OA:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),

將y=kx代入橢圓 ,整理得:(1+2k2)x2﹣2=0,

由韋達(dá)定理可知:可得丨OA丨= = ,

直線OB:y=﹣ x與y=2聯(lián)立得:B(﹣2k,2),則OB=2

SOAB= OAOB= ,

令t= >1,

則SOAB= = (t+ )> ,

∴SOAB的最小值為 ,在k=0時取得,此時AB=


【解析】(1)由題意可得:e= = ,x=﹣ =2,聯(lián)立求得a和c的值,由b2=a2﹣c2 , 即可求得b的值,求得橢圓方程;(2)當(dāng)k=0時,則A( ,0)或(﹣ ,0),B(0,2),此時△AOB面積為 ,AB= ,當(dāng)k≠0時,設(shè)直線OA方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,弦長公式及三角形的面積公式,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得△AOB面積取得最小值,即可求得k的值,求得線段AB的長度.

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【題目】連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子,令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為ai , 若存在正整數(shù)k,使a1+a2+…+ak=6,則稱k為你的幸運(yùn)數(shù)字.
(1)求你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率;
(2)若k=1,則你的得分為5分;若k=2,則你的得分為3分;若k=3,則你的得分為1分;若拋擲三次還沒找到你的幸運(yùn)數(shù)字則記0分,求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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1)設(shè)ADxx≥1),EDy,求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;

2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?如果DE是參觀線路,則希望它最長,DE的位置又應(yīng)在哪里?請予證明.

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(1)求f(x)=sinx(x∈R),g(x)=cosx(x∈R)的差距;
(2)設(shè)f(x)= (x∈[1,e ]),g(x)=mlnx(x∈[1,e ]).(e≈2.718)
①若m=2,且||f(x),g(x)||=1,求滿足條件的最大正整數(shù)a;
②若a=2,且||f(x),g(x)||=2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)求證:當(dāng)x>1時,恒有x>ln2x﹣2alnx+1.

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