Question

已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

（x≥0，a為正實數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a=1代入f（x）的解析式，求出f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得f′（1）=0，又f（1）=ln2，根據(jù)直線的點斜式方程，即可求得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求出f′（x），對a的值進行分類討論，當(dāng)a-2≥0時，f'（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)a-2＜0時，求出f'（x）=0的根，再根據(jù)f'（x）的正負，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后，綜合上面的答案，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

（x≥0，a為正實數(shù)），
∴當(dāng)a=1時，f(x)=ln(x+1)+

1-x

1+x

，
∴f′(x)=

1

x+1

+

-2

(1+x)2

，
∴切線的斜率為k=f'（1）=0，又f（1）=ln2，
∴切點為（1，ln2），
根據(jù)直線的點斜式方程，可得y-ln2=0×（x-1），即y=ln2，
∴所求的切線方程為y=ln2；
（Ⅱ）∵函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

（x≥0，a為正實數(shù)），
∴f′(x)=

a

ax+1

+

-2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
①當(dāng)a-2≥0，即a≥2時，
∵x≥0，
∴f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a-2＜0，即0＜a＜2時，
令f'（x）=0，則ax²+a-2=0（x≥0），
∴x=

2-a a

，
∴當(dāng)x∈[0，

2-a a

)時，f'（x）＜0，當(dāng)x∈(

2-a a

，+∞)時，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

2-a a

，+∞)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

2-a a

)．
綜合①②可得，當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞），
當(dāng)0＜a＜2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

2-a a

，+∞)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

2-a a

)．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性，求解單調(diào)性問題時，要注意單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，經(jīng)常會運用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．