Question

如圖，對于曲線Ψ所在平面內(nèi)的點O，若存在以O為頂點的角α，使得α≥∠AOB對于曲線Ψ上的任意兩個不同的點A、B恒成立，則稱角α為曲線Ψ的相對于點O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線Ψ的相對于點O的“確界角”．已知曲線C：f（x）=

3x2 4 +1，x≤0 e x e ，x＞0

（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），O為坐標原點，則曲線C的相對于點O的“確界角”為（　�。�

• A、

  π

  3

• B、

  5π

  12

• C、

  π

  2

• D、

  7π

  12

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點O作出兩條直線與曲線相切；，再由兩直線的夾角公式即可得到所求的“確界角”．

解答： 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點O作出兩條直線與曲線相切，設它們的方程分別為y=k₁x，y=k₂x，
當x＞0時，y′=f′（x）=

1

e

•e

x

e

，設切點為（m，n），則對應的切線方程為y-

1

e

•e

m

e

=

1

e

•e

m

e

(x-m)，
令x=0，y=0，則-

1

e

•e

m

e

=-

m

e

•e

m

e

，解得m=e，即切線斜率k₁=

1

e

•e

e

e

=

1

e

•e=1，則切線y=k₁x的傾斜角為

π

4

，
當x≤0時，函數(shù)的導數(shù)f′（x）=

3

2

x，設切點為（a，b），（a＜0）
則切線斜率k=f′（a）=

3a

2

，
則對應的切線方程為y-（

3a2

4

+1）=

3a

2

（x-a），
令a=b=0，則-（

3a2

4

+1）=-

3a

2

•a，
即

3a2

4

=1，則a2=

4

3

，
解得a=-

2 3

3

，
則y=k₂x的斜率k₂=f′（-

2 3

3

）=-

2 3

3

×

3

2

=-

3

，
則切線y=k₂x的傾斜角為

2π

3

，
由兩直線的夾角θ=

2π

3

-

π

4

=

5π

12

，
故選：B

點評：本題考查新定義“確界角”及應用，考查導數(shù)的應用：求切線，利用導數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．．