(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
是橢圓上的一點(diǎn),
,原點(diǎn)
到直線
的距離為
.
(Ⅰ)證明
;
(Ⅱ)設(shè)
為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),
,過(guò)原點(diǎn)
作直線
的垂線
,垂足為
,求點(diǎn)
的軌跡方程.
(Ⅰ)證法一:由題設(shè)
及
,
,不妨設(shè)點(diǎn)
,其中
.由于點(diǎn)
在橢圓上,有
,即
.
解得
,從而得到
.
直線
的方程為
,整理得
.
由題設(shè),原點(diǎn)
到直線
的距離為
,即
,
將
代入上式并化簡(jiǎn)得
,即
.
證法二:同證法一,得到點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
過(guò)點(diǎn)
作
,垂足為
,易知
,故
.
由橢圓定義得
,又
,
所以
,
解得
,而
,得
,即
.
(Ⅱ)解法一:設(shè)點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
當(dāng)
時(shí),由
知,直線
的斜率為
,所以直線
的方程為
,或
,其中
,
.
點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足方程組
將①式代入②式,得
,
整理得
,
于是
,
.
由①式得
.
由
知
.將③式和④式代入得
,
.
將
代入上式,整理得
.
當(dāng)
時(shí),直線
的方程為
,
的坐標(biāo)滿足方程組
所以
,
.
由
知
,即
,
解得
.
這時(shí),點(diǎn)
的坐標(biāo)仍滿足
.
綜上,點(diǎn)
的軌跡方程為
.
解法二:設(shè)點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,直線
的方程為
,由
,垂足為
,可知直線
的方程為
.
記
(顯然
),點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足方程組
由①式得
. 、
由②式得
. 、
將③式代入④式得
.
整理得
,
于是
. 、
由①式得
. 、
由②式得
. ⑦
將⑥式代入⑦式得
,
整理得
,
于是
. 、
由
知
.將⑤式和⑧式代入得
,
.
將
代入上式,得
.
所以,點(diǎn)
的軌跡方程為
.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
:
(
a>
b>0)的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,離心率為
,點(diǎn)
F1、
F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),在直線
x=2上的點(diǎn)
P(2,
)滿足|
PF2|=|
F1F2|,直線
l:
y=
kx+
m與橢圓
C交于不同的兩點(diǎn)
A、
B.(Ⅰ)求橢圓
C的方程;
(Ⅱ)若在橢圓
C上
存在點(diǎn)
Q,滿足
(
O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)
l的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
是
軸上方橢圓
上的一點(diǎn),且
,
,
.
(Ⅰ) 求橢圓
的方程和
點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)判斷以
為直徑的圓與以橢圓
的長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系;
(Ⅲ)若點(diǎn)
是橢圓
:
上的任意一點(diǎn),
是橢圓
的一個(gè)焦點(diǎn),探究以
為直徑的圓與以橢圓
的長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
橢圓
的離心率是
,求橢圓兩準(zhǔn)線間的距離。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題共13分)如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其半軸長(zhǎng)為
,短半軸長(zhǎng)為
,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底
是半橢圓的短軸,上底
的端點(diǎn)在橢圓上,記
,梯形面積為
.
(I)求面積
以
為自變量的函數(shù)式,并寫(xiě)出其定義域;
(II)求面積
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題共14分)
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)
且離心率
.過(guò)定點(diǎn)
的直線與橢圓相交于
,
兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在
軸上是否存在點(diǎn)
,使
為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存
在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
直線
兩點(diǎn),則以A為焦點(diǎn),經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
在平面直線坐標(biāo)系xoy中,已知△ABC的頂點(diǎn)A(-4,0)和C(4,0),頂點(diǎn)B在橢圓
_____________________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
橢圓
的焦點(diǎn)F
1 、F
2,P為橢圓上的一點(diǎn),已知
,則
的面積為_(kāi)____________________。
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