Question

對于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“科比函數(shù)”．
（1）給出下列兩個函數(shù)：①f（x）=x+1；②f（x）=x²，其中是“科比函數(shù)”的函數(shù)序號是

②

．
（2）若函數(shù)f(x)=k+

x+2

是“科比函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

(-

9

4

，-2]

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義域求出值域，然后尋找其定義域內(nèi)存在兩個實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]的a與b的值，即可判定．
（2）根據(jù)題意可得到：

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

，即方程k+

x+2

=x有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，分別畫出左右兩邊函數(shù)：y=

x+2

和y=x-k的圖象，結(jié)合圖象法可得答案．

解答：解：（1）①f（x）=x+1當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a+1，b+1]，找不到滿足條件的a與b，根據(jù)定義可知f（x）=x+1不是“科比函數(shù)”
②f（x）=x²，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域是[0，1]，根據(jù)定義可知f（x）=x+1是“科比函數(shù)”
故答案為：②
（2）∵函數(shù)f（x）=k+

x+2

是“科比函數(shù)”，且是增函數(shù)，
∴

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

此式表明：方程k+

x+2

=x有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
即方程

x+2

=x-k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
分別畫出左右兩邊函數(shù)：y=

x+2

和y=x-k的圖象，
當(dāng)直線y=x-k與曲線y=

x+2

相切時，

x+2

=x-k有唯一解，解得k=-

9

4

；
當(dāng)直線y=x-k與曲線上的點(diǎn)（2，0）時，
解得k=-2；
結(jié)合圖象可得：當(dāng)兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)時，
實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-

9

4

，-2]．
故答案為：（-

9

4

，-2]．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為方程的解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法加以解決，屬于中檔題．