Question

定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1，且對任意的a、b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．

(1)求f(0)；

(2)證明對任意的x∈R，恒有f(x)＞0；

(3)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：取a＝b＝0，則f(0)＝f(0)·f(0)． 　　∵f(0)≠0，∴f(0)＝1． 　　(2)證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1＞0成立， 　　當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(0)＝f(x－x)＝f(x)f(－x)＝1， 　　∴f(x)＝＞0．∴x∈R時(shí)，恒有f(x)＞0． 　　(3)解：設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0． 　　∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)． 　　∴＝f(x2－x1)． 　　∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1． 　　又f(x1)＞0，f(x2)＞0， 　　∴f(x1)＜f(x2)． 　　∴f(x)在R上是增函數(shù)．

提示：

本題抽象函數(shù)的原型函數(shù)即為指數(shù)函數(shù)，可借助y＝2x分析理清解答的思路和方法．(1)利用賦值法求f(0)；(2)只需證明當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0；(3)利用定義法判斷單調(diào)性．