Question

對實數(shù)a和b，定義新運算a⊙b=

a， a-b≤2 b， a-b＞2

，設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-2）⊙（2x-x²），x∈R．若關(guān)于x的方程f（x）=m恰有兩個實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是

m＜-3，或m=-2，或-1＜m＜0

．

Answer 1

分析：根據(jù)定義的運算法則化簡函數(shù)f（x）=（x²-2）⊙（2x-x²）的解析式，并畫出f（x）的圖象，關(guān)于x的方程f（x）=m恰有兩個實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為y=f（x），y=m圖象的交點問題，結(jié)合圖象求得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵a⊙b=

a， a-b≤2 b， a-b＞2

，
∴（x²-2）-（2x-x²）≤2解得-1≤x≤2，
∴f（x）=（x²-2）⊙（2x-x²）=

x2-2，-1≤x≤2 2x-x2，x＜-1或x＞2

，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，與y=m的圖象，如右圖，
從而可得：m＜-3，或m=-2，或-1＜m＜0，
故答案為：m＜-3，或m=-2，或-1＜m＜0．

點評：本小題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．