已知x>1,y>1且2logxy-2logyx+3=0,記M=x2-4y2
(1)求出M關(guān)于x的函數(shù)解析式f(x),并求其值域;
(2)解關(guān)于t的方程f(t2+2)=f(3t).
【答案】分析:(1)設(shè)n=logxy,根據(jù)題意可得n>0,以及得到2n2+3n-2=0,求出n的數(shù)值即可得到y(tǒng)2=x,進(jìn)而得到函數(shù)f(x)的解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案.
(2)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得:t2+2=3t或者(t2+2)+(3t)=4,即可求出t的值,再根據(jù)函數(shù)的定義域得到方程的解.
解答:解:(1)設(shè)n=logxy,
因?yàn)閤>1,y>1,所以n>0.
因?yàn)?logxy-2logyx+3=0,
所以可得2n2+3n-2=0,解得:n=或者n=-2(舍去),
所以logxy=,即y2=x,
所以M=x2-4y2=x2-4x,即f(x)=x2-4x,(x>1),
根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)可得:f(x)∈[-3,+∞),即值域?yàn)閇-3,+∞).
(2)由(1)并且結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得:t2+2=3t或者(t2+2)+(3t)=4,
解得t=1,t=2,t=,t=
又因?yàn)閒(x)=x2-4x,(x>1),
所以t2+2≥-3,并且3t≥-3,解得:t≥-1.
所以方程的解為t=1,t=2,t=
點(diǎn)評(píng):解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法與一元二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),以及對數(shù)的有關(guān)運(yùn)算,此題屬于中檔題型.
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[  ]

A.4

B.2

C.1

D.

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