Question

設(shè)平面向量

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），定義運(yùn)算⊙：

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂．已知平面向量

a

，

b

，

c

，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、（

  a

  ⊙

  b

  ）+（

  b

  ⊙

  a

  ）=0
• B、存在非零向量a，b同時(shí)滿足

  a

  ⊙

  b

  =0且

  a

  •

  b

  =0
• C、（

  a

  +

  b

  ）⊙

  c

  =

  a

  ⊙

  c

  +

  b

  ⊙

  c

• D、|

  a

  ⊙

  b

  |²=|

  a

  |²|

  b

  |²-|

  a

  •

  b

  |²

Answer 1

分析：根據(jù)定義不難得出B是錯(cuò)誤的，

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂=0，說(shuō)明向

a

、

b

是互相平行的向量，若

a

•

b

=0，說(shuō)明它們是垂直的向量．因?yàn)椴淮嬖趦蓚�(gè)非零向量，它們既平行又垂直，故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，而對(duì)于其它選項(xiàng)，可以分別證明它們是真命題．

解答：解：對(duì)于A，由定義得，

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂，

b

⊙

a

=x₂y₁-y₂x₁，所以（

a

⊙

b

）+（

b

⊙

a

）=0成立，A正確．
對(duì)于B，因?yàn)閮蓚�(gè)向量

a

、

b

平行的充要條件是x₁y₂-y₁x₂=0，若非零向量a，b同時(shí)滿足

a

⊙

b

=0且

a

•

b

=0，說(shuō)明兩個(gè)向量既平行又垂直，故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．
設(shè)對(duì)于C，設(shè)

c

=(m，n)，則（

a

+

b

）⊙

c

=（x₁+x₂，y₁+y₂）⊙

c

=n（x₁+x₂）-m（y₁+y₂）=（nx₁-y₁m）+（nx₂-my₂）=

a

⊙

c

+

b

⊙

c

，故C選項(xiàng)是正確的．
 對(duì)于D，|

a

⊙

b

|²=（x₁y₂-y₁x₂ ）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²x₂²
|

a

|²|

b

|²-|

a

•

b

|²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）-（x₁x₂+y₁y₂）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²y₂²，因此D選項(xiàng)是正確的．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在新定義下向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．牢記面向量的平行、垂直的充要條件，準(zhǔn)確運(yùn)用它們的坐標(biāo)運(yùn)算，是解決本題的關(guān)鍵．