Question

【題目】設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用直線被圓截得弦長為構(gòu)造關(guān)于的方程，求得，再根據(jù)離心率和之間關(guān)系求得，從而得到橢圓方程；（Ⅱ）假設(shè)，則，表示出直線和直線，求解出點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用直線斜率大于，求得；又為橢圓上的點(diǎn)且在第一象限，可知，從而可得；將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)求值域的方法求解出的取值范圍.

（Ⅰ）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑

圓心到直線的距離

直線被圓截得的弦長為

解得：，又橢圓離心率

，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（Ⅱ）設(shè)，其中，，則

，

則直線為：；直線為：

由得：

令，，則

即