Question

（2009•溫州二模）已知向量

a

=(1，sinx)，

b

=(sin2x，cosx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最小值和單調(diào)區(qū)間；
（2）若f(α)=

3

4

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：先利用向量數(shù)量積運(yùn)算，求得函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的正弦公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，（1）利用正弦函數(shù)的有界性求得函數(shù)f（x）的最小值，將內(nèi)層函數(shù)置于外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間上，解不等式即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，同理可得其單調(diào)減區(qū)間；（2）利用配湊角的方法，將角2α看做2α-

π

4

+

π

4

，再利用兩角和的正弦公式即可求得所求函數(shù)值，但角2α-

π

4

的取值范圍的確定是一個(gè)難點(diǎn)

解答：解：f(x)=

a

•

b

=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

1

2

（sin2x-cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

（1）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴當(dāng)2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時(shí)，f（x）最小為-

2

2

×

2

2

+

1

2

=0
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，得-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，
取k=0，結(jié)合x∈[0，

π

2

]
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，

3π

8

]，單調(diào)減區(qū)間為[

3π

8

，

π

2

]
（2）∵f(α)=

3

4

，∴

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

=

3

4

∴sin（2x-

π

4

）=

2

4

∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∵0＜sin（2x-

π

4

）＜

1

2

∴2x-

π

4

∈（0，

π

6

）
∴cos（2x-

π

4

）=

14

4

∴sin2x=sin（2x-

π

4

+

π

4

）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

2

2

cos（2x-

π

4

）=

2

2

（

2

4

+

14

4

）=

7 +1

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角變換公式在三角化簡(jiǎn)和求值中的運(yùn)用，y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)值確定角的范圍，并利用變換角的方法求函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵