Question

【題目】如圖，已知是橢圓的左焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)且與垂直的直線與軸和軸分別交于、兩點(diǎn)，記、的面積分別為、．若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由左焦點(diǎn)及橢圓過(guò)的點(diǎn)及、、之間的關(guān)系求出橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出兩根之和及之積，寫(xiě)出中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫(xiě)出直線的方程，求出面積之比，由題意得直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程．

（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，

由題意得：，，，解得：，，

所以，橢圓的方程為；

（Ⅱ）由題意得，直線的斜率不為零，

設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

聯(lián)立與橢圓的方程，消去，整理得，

由韋達(dá)定理得，，

，

所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，

所以直線的方程為，即，

由題意得，，，，

即，整理得，，則，

所以直線的方程為.