如圖,F(xiàn)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),O為原點(diǎn),記△OFP的面積為S,且
OF
FP
=1

(1)設(shè)
1
2
<S<
3
2
,求向量
OF
FP
夾角的取值范圍.
(2)設(shè)|
OF
|=c
,S=
3
4
c
,當(dāng)c≥2時(shí),求當(dāng)|
OP
|
取最小值時(shí)的橢圓方程.
精英家教網(wǎng)
(1)設(shè)
OF
FP
的夾角為θ,由題意得
OF
FP
=|
OF
|•|
FP
|cosθ=1
,S=
1
2
|
OF
|•|
FP
|sin(π-θ)
…(2分)
兩式相除可得tanθ=2S,又
1
2
<S<
3
2
,所以1<tanθ<
3
…(2分)
所以向量
OF
FP
夾角的取值范圍是45°<θ<60°…(1分)
(2)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)(c,0),所以
OF
=(c,0)
,
FP
=(x0-c,y0)
,
所以
OF
FP
=c(x0-c)=1
,即x0=c+
1
c
…(1分)
所以S=
1
2
c|y0|=
3
4
c
,|y0|=
3
2
…(1分)
所以|
OP
|=
x20
+
y20
=
(c+
1
c
)
2
+
9
4
…(2分)
由單調(diào)性可知當(dāng)c=2時(shí)有最小值,此時(shí)x0=
5
2
,…1分|y0|=3,此時(shí)F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),所以2a=PF1+PF2=
(
5
2
+2)
2
+
9
4
+
(
5
2
-2)
2
+
9
4
=2
10
…(2分)
所以橢圓方程為
x2
10
+
y2
6
=1
…(2分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個(gè)焦點(diǎn),A、B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率為
1
2
,點(diǎn)C在x軸上,BC⊥BF,由B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線x+
3
y+3=0
相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)過F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),若在x軸上存在一點(diǎn)N(x0,0),使得直線NP與直線NQ關(guān)于x軸對(duì)稱,求x0的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),A,B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率為
1
2
.點(diǎn)C在x軸上,BC⊥BF,B,C,F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M的半徑為2.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)A的直線l與圓M交于P、Q兩點(diǎn),且
MP
MQ
=-2
求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn),A,B分別是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率為
1
2
,點(diǎn)C在x軸上,BC⊥BF,B,C,F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線l1:x+
3
y+3=0
相切
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)A的直線l2與圓M交于P,Q兩點(diǎn),且
MP
MQ
=-2
,求直線l2的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,F(xiàn)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),O為原點(diǎn),記△OFP的面積為S,且
OF
FP
=1

(1)設(shè)
1
2
<S<
3
2
,求向量
OF
FP
夾角的取值范圍.
(2)設(shè)|
OF
|=c
,S=
3
4
c
,當(dāng)c≥2時(shí),求當(dāng)|
OP
|
取最小值時(shí)的橢圓方程.

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