Question

已知橢圓E：

x2

100

+

y2

25

=1的上頂點(diǎn)為A，直線y=-4交橢圓E于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)P在橢圓E上．
（Ⅰ）求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程；
（Ⅱ）若四邊形ABCD為梯形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n為實(shí)數(shù)），求m+n的最大值及對應(yīng)的P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）確定橢圓的右焦點(diǎn)，可得拋物線的方程；
（Ⅱ）要使四邊形ABCP梯形，當(dāng)且僅當(dāng)CP∥AB，則k_AB=k_CP，求出直線CP的方程，與橢圓方程聯(lián)立，即可求得P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)P（x，y），根據(jù)

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n為實(shí)數(shù)），可得x=6m+12n-6，y=9m-4，進(jìn)而可得m+n，利用三角換元，可求m+n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)此拋物線的方程為y²=2px…1 分
∵橢圓的右焦點(diǎn)為(5

3

，0)，
∴

p

2

=5

3

，即p=10

3

…（2分）
∴此拋物線的方程為y2=20

3

x…（3分）
（Ⅱ）A（0，5），B（-6，-4），C（6，-4）…（4分）
要使四邊形ABCP梯形，當(dāng)且僅當(dāng)CP∥AB．
∵kAB=

3

2

，∴直線CP的方程為y+4=

3

2

(x-6)，即y=

3

2

x-13…（5分）
把y=

3

2

x-13代入

x2

100

+

y2

25

=1得：5x²-78x+288=0…（6分）
解得：x=6或

48

5

（由韋達(dá)定理求得也可）…（7分）
∴P(

48

5

，

7

5

)…（8分）
（Ⅲ）設(shè)P（x，y），易知

BA

=(6，9)，

BC

=(12，0)，

BP

=(x+6，y+4)
∵

BP

=m•

BA

+n•

BC

，
∴x+6=6m+12n，y+4=9m…（9分）
則m=

y+4

9

，n=

3x-2y+10

36

，m+n=

3x+2y+26

36

…（10分）
由P（x，y）在

x2

100

+

y2

25

=1上可設(shè)

x=10cosθ y=5sinθ

，（θ為參數(shù)，0≤θ＜2π）
∴3x+2y=30cosθ+10sinθ=10

10

cos(θ-α)，…（11分）
其中cosα=

3 10

10

，sinα=

10

10

（α為銳角）
∴(3x+2y)max=10

10

，…（12分）
∴(m+n)max=

10 10 +26

36

=

5 10 +13

18

…（13分）
此時(shí)θ=α，即x=3

10

，y=

10

2

即P(3

10

，

10

2

)…（14分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題．