Question

【題目】已知橢圓過點，且它的一個焦點與拋物線的焦點相同．直線過點，且與橢圓相交于兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的一個方向向量為，求的面積（其中為坐標原點）；

（3）試問：在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定點，定值.

【解析】

（1）直接根據(jù)橢圓過點，求出，再根據(jù)橢圓的一個焦點是拋物線拋物線的焦點，求得，再求出，得到橢圓的方程.

（2）先求出直線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出交點，再求出的面積.

（3）先設軸上是存在點使得為定值，設出直線，的坐標，表示出

，再分析怎樣使為定值.

解：（1）橢圓過點，代入得，拋物線的焦點為，

得，得，故橢圓方程為．

（2），將直線與橢圓聯(lián)立，解得，，

如圖所示：

故．

（3）當直線斜率不為0時，設：，，，，

將與橢圓聯(lián)立得，則有，，

則

由于該式不管取何值均為定值，故，得，定值為．

當直線斜率為0時，，，．

綜上，定點，定值．