Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)為，.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為可得，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓的方程為，其與直線相切，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑可得，再由即可求得，方程得解；（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為定值，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算得到坐標(biāo)的關(guān)系，設(shè)出直線的方程，整理方程組得到坐標(biāo)的關(guān)系并代入，要使其值與的斜率，則分離參數(shù)，讓其系數(shù)為零，即得點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：（1） 由e＝，得＝，即c＝a ① 又因?yàn)橐栽�點(diǎn)O為圓心，

橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為x2＋y2＝a2，且與直線2x－y＋6＝0相切，

a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2.

橢圓的方程為＋＝1.

（2）由 得：（1＋3k2）x2－12k2x＋12k2－6＝0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝，x1·x2＝，

根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E（m，0），使得2＋·＝·（＋）＝·為定值，

則有： ·＝（x1－m，y1）·（x2－m，y2）＝（x1－m）·（x2－m）＋y1y2

＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1－2）（x2－2） ＝（k2＋1）x1x2－（2k2＋m）（x1＋x2）＋（4k2＋m2）

＝（k2＋1）·－（2k2＋m）·＋（4k2＋m2）＝.

要使上式為定值，即與k無關(guān)，則應(yīng)使3m2－12m＋10＝3（m2－6）， 即，

此時(shí) 為定值，定點(diǎn)為.