對于數(shù)列{an} (n=1,2,…,m),令bk為a1,a2,…,ak中的最大值,稱數(shù)列{bn}為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”.例如數(shù)列2,1,3,7,5的創(chuàng)新數(shù)列為2,2,3,7,7.定義數(shù)列{Cn}:c1,c2,c3,…,cm是自然數(shù)1,2,3,…,m(m>3)的一個(gè)排列.
(Ⅰ)當(dāng)m=5時(shí),寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的所有數(shù)列{Cn};
(Ⅱ)是否存在數(shù)列{Cn},使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出所有的數(shù)列{Cn},若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)由題意可得,創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的所有數(shù)列 {Cn}有兩個(gè),即數(shù)列3,4,1,5,2;
或數(shù)列3,4,2,5,1.  …(4分)
(Ⅱ)存在數(shù)列{Cn},使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{Cn} 的創(chuàng)新數(shù)列為{ en},(n=1,2,3,4…,m),
因?yàn)閑m 是 c1,c2,c3,…,cm 中的最大值,所以 em=m.
由題意知,ek為 c1,c2,c3,…ck 中最大值,所以,ek≤ek+1,且 ek∈{1,2,3,…,m}.
若{ en}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則d=ek+1-ek≥0 且d∈N.
當(dāng)d=0 時(shí),{ en}為常數(shù)列,又 em=m,所以數(shù)列{ en}為 m,m,…,m.
此時(shí)數(shù)列{Cn}是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)符合條件的數(shù)列.  …(8分)
當(dāng)d=1時(shí),因?yàn)閑m=m,所以數(shù)列{ en} 為1,2,…,m.
此時(shí),數(shù)列{cn} 為1,2,3,…,m.  …(10分)
當(dāng)d≥2時(shí),因?yàn)?em=e1+(m-1)d≥e1+(m-1)2=2m-2+e1,
又m>3,e1 為正整數(shù),所以 em>m,這與 em=m 矛盾,所以此時(shí){ en}不存在,即不存在{Cn}使得它的創(chuàng)新數(shù)列為公差d≥2的等差數(shù)列.…(13分)
綜上,當(dāng)數(shù)列{Cn}為以m為首項(xiàng)的任意一個(gè)符合條件的數(shù)列,或{Cn}為數(shù)列1,2,3,…,m時(shí),它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于數(shù)列{an},規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列,其中△an=an+1-an(n∈N*);一般地,規(guī)定{△kan}為數(shù)列{an}的k階差分?jǐn)?shù)列,其中△kan=△k-1an+1-△k-1an,且k∈N*,k≥2.
(Ⅰ)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=
5
2
n2-
13
2
n(n∈N*),試證明{△an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且滿足△2an-an+1+an=-2n(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記bn=
a1(n=1)
2n-1
an
(n≥2,n∈N*)
,求證:b1+
b2
2
+…+
bn
n
17
12

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8、對于數(shù)列{an},若存在常數(shù)M,使得對任意n∈N*,an與an+1中至少有一個(gè)不小于M,則記作{an}?M,那么下列命題正確的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于數(shù)列{an},定義數(shù)列{bm}如下:對于正整數(shù)m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.
(Ⅰ)設(shè){an}是單調(diào)遞增數(shù)列,若a3=4,則b4=
 

(Ⅱ)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,n∈N*,則數(shù)列{bm}的通項(xiàng)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•上海一模)觀察數(shù)列:
①1,-1,1,-1,…;
②正整數(shù)依次被4除所得余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列1,2,3,0,1,2,3,0,…;
③an=tan
3
,n=1,2,3,…
(1)對以上這些數(shù)列所共有的周期特征,請你類比周期函數(shù)的定義,為這類數(shù)列下一個(gè)周期數(shù)列的定義:對于數(shù)列{an},如果
存在正整數(shù)T
存在正整數(shù)T
,對于一切正整數(shù)n都滿足
an+T=an
an+T=an
成立,則稱數(shù)列{an}是以T為周期的周期數(shù)列;
(2)若數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an,n∈N*,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,且S2=2008,S3=2010,證明{an}為周期數(shù)列,并求S2008;
(3)若數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=p,p∈[0,
1
2
),且an+1=2an(1-an),n∈N*,判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•通州區(qū)一模)對于數(shù)列{an},從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差依次組成等比數(shù)列,稱該等比數(shù)列為數(shù)列{an}的“差等比數(shù)列”,記為數(shù)列{bn}.設(shè)數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=2,公比為q(q為常數(shù)).
(I)若q=2,寫出一個(gè)數(shù)列{an}的前4項(xiàng);
(II)(。┡袛鄶(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明你的理由;
(ⅱ)a1與q滿足什么條件,數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(III)若a1=1,1<q<2,數(shù)列{an+cn}是公差為q的等差數(shù)列(n∈N*),且c1=q,求使得cn<0成立的n的取值范圍.

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