Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若方程在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，可求得實(shí)數(shù)的值；

(2)由，得，由于，對(duì)a進(jìn)行參數(shù)分離得，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的存在性，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)，③當(dāng)時(shí)，分別討論方程的根的情況，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以，

所以或，解得，

所以實(shí)數(shù)的值為1；

（2），即，則，∵，

∴，

令，則的定義域?yàn)?/span>，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∵，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，

∴，得到；

（3）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)方程沒(méi)有根；

②當(dāng)，，即時(shí)，因?yàn)?/span>有兩個(gè)正根，

所以，得，

③當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)根為，則有，結(jié)合圖形可知在上必有兩個(gè)不同的實(shí)根.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.