19.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知拋物線C:y2=ax(a>0)上一點(diǎn)M(x0,4)到焦點(diǎn)F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x0,直線l與拋物線C相交于不同的A,B兩點(diǎn),如果$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:直線l必過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

分析 (1)利用拋物線C:y2=ax(a>0)上一點(diǎn)M(x0,4)到焦點(diǎn)F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x0,建立方程,即可求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)出直線的方程,同拋物線方程聯(lián)立,得到關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積,根據(jù)數(shù)量積等于-4,做出數(shù)量積表示式中的b的值,即得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

解答 (1)解:∵拋物線C:y2=ax(a>0)上一點(diǎn)M(x0,4)到焦點(diǎn)F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x0,
∴x0+$\frac{a}{4}$=$\frac{5}{4}$x0,16=ax0,∴a=4,
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程C:y2=4x;
(2)證明:設(shè)l:x=ty+b代入拋物線y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0設(shè).
A(x1,y1),B(x2,y2
則y1+y2=4t,y1y2=-4b
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b
令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2.
∴直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程與性質(zhì),考查了直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.

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9.把數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{n^2}+n}}}\right\}$依次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù),第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù),第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù),…,按此規(guī)律下去,即$({\frac{1}{2}}),({\frac{1}{6},\frac{1}{12}}),({\frac{1}{20},\frac{1}{30},\frac{1}{42}})$,…,則第6個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)字之和為$\frac{3}{176}$.

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10.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d為奇函數(shù),且在x=-1處取得最大值2
(1)求f(x)的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)A(1,t)(t≠-2)可作函數(shù)f(x)圖象的三條切線,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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7.已知函數(shù)f(x)=-$\frac{1}{3}$x3+x2+ax+b在x=3取得極值為4,則f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為(  )
A.-1B.0C.-$\frac{4}{3}$D.-$\frac{13}{3}$

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14.直線l與拋物線y2=8x交于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則l的斜率等于( 。
A.1B.2C.3D.4

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4.已知f(x)=$\frac{x}{x+1}$,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,則f2016(x)的表達(dá)式為${f_{2016}}(x)=\frac{x}{1+2016x}$.

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11.已知拋物線E:x2=2py(p>0),過(guò)點(diǎn)M(1,-1)作拋物線E的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$.
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)與圓x2+(y-1)2=1相切的直線l:y=kx+m(其中m∈(2,4]),與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),若在拋物線上存在點(diǎn)C,使$\overrightarrow{OC}$=λ$(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})$(λ>0),求λ的取值范圍.

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8.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=$\frac{1}{3}$ax+b(a、b為常數(shù)).
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在(1,f(1))處相切,求g(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)+$\frac{a}{x}$(a>1),若h(x)在[1,e]上的最小值為2,求實(shí)數(shù)a的值.

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9.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍為(  )
A.(-∞,-2)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(1,+∞)

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