【題目】如圖,在直二面角中,四邊形是邊長為2的正方形,,為上的點,且平面.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】試題分析:(1)由平面可證,由二面角為直二面角及是正方形可證,再由線面垂直判定定理得平面,即可得證;(2)取的中點,連接,,由四邊形為正方形可證,,即可得為二面角的平面角,根據(jù)題設條件求出及,即可得二面角的余弦值;(3)利用等體積法,由即可得點到平面的距離.
試題解析:(1)∵平面,∴.
又∵二面角為直二面角,且,
∴平面,
∴,∴平面,
∴.
(2)取的中點,連接,.
∵四邊形為正方形,∴,∴,
即為二面角的平面角,又,
∴,由(1)知,且,
∴,∴,由,解得,
∴,即
∴,即二面角的余弦值為.
(3)取的中點,連接,
∵,二面角為直二面角,
∴平面,且.
∵,,∴平面,∴,
∴,又,
由,得,∴.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示沒有命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A. 0.35 B. 0.25
C. 0,20 D. 0.15
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列, 都是單調遞增數(shù)列,若將這兩個數(shù)列的項按由小到大的順序排成一列(相同的項視為一項),則得到一個新數(shù)列.
(1)設數(shù)列、分別為等差、等比數(shù)列,若, , ,求;
(2)設的首項為1,各項為正整數(shù), ,若新數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列 的前項和;
(3)設(是不小于2的正整數(shù)),,是否存在等差數(shù)列,使得對任意的,在與之間數(shù)列的項數(shù)總是?若存在,請給出一個滿足題意的等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設=(1+cos x,1+sin x),=(1,0),=(1,2).
(1)求證:(﹣)⊥(﹣);
(2)求||的最大值,并求此時x的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當時,討論函數(shù)在區(qū)間上極值點的個數(shù);
(Ⅱ)當, 時,對任意的都有成立,求正實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R,(其中A>0,ω>0,0≤φ≤)的部分圖象,其圖象與y軸交于點(0,)
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)若 , 求-的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=|1﹣|
(1)求滿足f(x)=2的x值;
(2)是否存在實數(shù)a,b,且0<a<b<1,使得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域為[a,2b],若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=kx2+2x(k為實常數(shù))為奇函數(shù),函數(shù)g(x)=af(x)﹣1(a>0且a≠1).
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求g(x)在[﹣1,2]上的最大值;
(Ⅲ)當a=時,g(x)≤t2﹣2mt+1對所有的x∈[﹣1,1]及m∈[﹣1,1]恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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