Question

16．已知直線l：y=x+b，圓C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（a＞0）．
（1）當b=4時，求直線l被圓C所截得的弦長的最大值；
（2）當b=1時，是否存在a，使得l與圓C交于A、B兩點，且滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1？若存在，求出a值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將圓的方程轉(zhuǎn)化為標準方程求得圓心C的坐標和半徑，再求得圓心C到直線l的距離，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關(guān)系得：L=2$\sqrt{4a-2（2-a）^{2}}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$，最后由二次函數(shù)法求解．
（2）當b=1時，假設(shè)存在a，使直線l：y=x+1與圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，聯(lián)立方程組消去y得消去y得  2x²+2x+2a²-6a+1=0，利用韋達定理，結(jié)合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1，可得關(guān)于a的方程，從而可求a的值，進而檢驗可知滿足條件的a存在．

解答 解：（1）已知圓的標準方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（a＞0），
則圓心C的坐標是（-a，a），半徑為2$\sqrt{a}$．
直線l的方程化為：x-y+4=0．則圓心C到直線l的距離是=$\frac{|-a-a+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|2-a|．
設(shè)直線l被圓C所截得弦長為L，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關(guān)系是：
L=2$\sqrt{4a-2（2-a）^{2}}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$
∵a＞0，∴當a=3時，L的最大值為2$\sqrt{10}$；
（2）當b=1時，假設(shè)存在a，使直線l：y=x+1與圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
聯(lián)立直線l：y=x+1，圓C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0，
消去y得  2x²+2x+2a²-6a+1=0
∴x₁+x₂=-1，x₁•x₂=a²-3a+$\frac{1}{2}$
又∵y₁•y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=a²-3a+$\frac{1}{2}$
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=2（a²-3a+$\frac{1}{2}$）=1
即：a²-3a=0，解得：a=0或a=3
又∵△=2²-8（2a²-6a+1）＞0，∴a=3
故存在a=3，使得直線l與⊙C相交于A、B兩點，且滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1．

點評 本題以直線與圓為載體，考查直線與圓相切，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是將向量運算坐標化，從而建立方程，應(yīng)注意方程判別式的驗證．