Question

如圖，平面α上定點(diǎn)F到定直線l的距離FA=2，曲線C是平面α上到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡． 設(shè)FB⊥α，且FB=2．
（1）若曲線C上存在點(diǎn)P₀，使得P₀B⊥AB，試求直線P₀B與平面α所成角θ的大��；
（2）對（1）中P₀，求點(diǎn)F到平面ABP₀的距離h．

Answer 1

分析：（1）解法一：以線段FA的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由此易求出曲線C的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)后，根據(jù)P₀B⊥AB，構(gòu)造方程，解方程求出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案．
解法二：以點(diǎn)A為原點(diǎn)O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)曲線C是平面α上到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，構(gòu)造方程，解方程求出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案．
（2）解法一：由（1）可得，△ABP的面積及△AFP的面積，然后使用等體積法，即可求出點(diǎn)F到平面ABP₀的距離h．
解法二：計(jì)算出平面ABP₀的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，代入點(diǎn)到平面距離公式，h=

| AF • n0 |

| n0 |

，即可求出點(diǎn)F到平面ABP₀的距離h．

解答：解：（1）（解法一）如圖，以線段FA的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
由題意，曲線C是平面α上以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，由于在xOy平面內(nèi)，CF（2，0，0）
是以O(shè)為頂點(diǎn)，以x軸為對稱軸的拋物線，其方程為y²=4x，
因此，可設(shè)P(

y2

4

，y，0)A（-1，0，0），B（1，0，2），所以，

AB

=(2，0，2)，

PB

=(1-

y2

4

，-y，2)．
由P₀B⊥AB，得2(1-

y2

4

)+4=0?y=2

3

，?P(3，2

3

，0)
所以，直線P₀B與平面α所成角的大小為arctan

1

2

（或arcsin

3

3

）．
（解法二）如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
所以，A（0，0，0），B（2，0，2），F(xiàn)（2，0，0），并設(shè)P（x，y，0），
由題意，

PB2+AB2=AP2 PF=PE.

(x-2)2+y2+4+8=x2+y2 (x-2)2+y2=x2.

?P(3，2

3

，0)
所以，直線P₀B與平面α所成角的大小為arctan

1

2

（或arcsin

5

5

）．
（2）（解法一）由（1），得△ABP的面積為S△ABP=2

10

，△AFP的面積為S△AFP=2

3

，
所以，

1

3

×2

10

h=

1

3

×2

3

×2，
解得，h=

30

5

．
（解法二）

AB

=(2，0，2)，

AP

=(4，2

3

，0)，設(shè)向量

n

=(x，y，z)
則

2x+2z=0 4x+2 3 y=0

所以，平面ABP₀的一個(gè)法向量

n0

=(3，-2

3

，-3)，∴h=

| AF • n0 |

| n0 |

=

30

5

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，其中（1）的關(guān)鍵是求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，（2）的中解法一關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)棱錐翻轉(zhuǎn)過程中體積不變進(jìn)行求解，解法二的關(guān)鍵是點(diǎn)到平面距離公式，h=

| AF • n0 |

| n0 |

．