Question

15．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x-2，那么不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$的解集是（　�。�

• A． $\left\{{x|0＜x＜\frac{5}{2}}\right\}$
• B． $\left\{{x|x＜-\frac{3}{2}\;，\;\;或0≤x＜\frac{5}{2}}\right\}$
• C． $\left\{{x|-\frac{3}{2}＜x＜0\;，\;\;或0≤x＜\frac{5}{2}}\right\}$
• D． $\left\{{x|-\frac{3}{2}＜x＜0}\right\}$

Answer 1

分析 先求得當(dāng)x＞0時(shí)的x的范圍，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的解析式，求得不等式的解集，綜合可得要求的不等式的解集．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x-2，不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$，即x-2＜$\frac{1}{2}$，求得0＜x＜$\frac{5}{2}$．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，滿足不等式成立，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，此時(shí) f（-x）=-x-2=-f（x），f（x）=x+2，
不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$，即x+2＜$\frac{1}{2}$，求得x＜-$\frac{3}{2}$，
綜上可得，不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$的解集是{x|0≤x＜$\frac{5}{2}$，或x＜-$\frac{3}{2}$ }，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．