Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$，
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若對?x∈[-2，3]，都有s≥f（x）恒成立，求出s的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)求函數(shù)的極值即可；
（2）由題意可得只要s≥f（x）_max即可，利用導數(shù)求得函數(shù)f（x）的最大值即可；

解答 解：（1）f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	$\frac{13}{6}$	遞減	-$\frac{7}{3}$	遞增

因此極大值是$\frac{13}{6}$，極小值是-$\frac{7}{3}$．
（2）f（-2）=$\frac{1}{3}$，f（3）=-$\frac{1}{2}$，
因此在區(qū)間[-2，3]的最大值是$\frac{13}{6}$，最小值是-$\frac{7}{3}$，
∴s≥$\frac{13}{6}$．

點評 本題只要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及最值等知識，屬于中檔題．