Question

如圖，A、C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時從A島出發(fā)，以10海里/小時的速度，沿北偏東75°方向直線航行，下午1時到達(dá)B處.然后以同樣的速度，沿北偏東15°方向直線航行，下午4時到達(dá)C島.

（Ⅰ）求A、C兩島之間的直線距離；

（Ⅱ）求∠BAC的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）70海里（Ⅱ）

【解析】本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在實際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)中的工具進(jìn)行求解，試題的難度一般不大

（1）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，及∠ABC=180°-75°+15°=120可考慮利用據(jù)余弦定理求AC

（2）在△ABC中，據(jù)正弦定理，得∠BAC的正弦值.

解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，

∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°………………………2分

據(jù)余弦定理，得，

所以AC＝70.  ………………5分

故A、C兩島之間的直線距離是70海里.…………6分

（Ⅱ）在△ABC中，據(jù)正弦定理，得，………………8分

所以.……………11分

故∠BAC的正弦值是.…………………12分