如圖,在△ABC中,AC=b,BC=a,a<b,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且AD=a,∠ADB+∠C=π.問∠C為何值時(shí),凹四邊形ACBD的面積最大?并求出最大值.

解:設(shè)BD=x,在△ABC和△ABD中,根據(jù)余弦定理,得

AB2=a2+b2-2abcosC,

AB2=a2+x2-2axcos∠ADB

=x2+a2+2axcosC,

∴a2+b2-2abcosC=x2+a2+2axcosC,

即x2+2axcosC+(2acosC-b)b=0,

解得x=b-2acosC或x=-b(舍去).

于是凹四邊形ACBD的面積

S=SABC-SABD

=absinC-axsin∠ADB

=absinC-a(b-2acosC)sinC

=a2sin2C.

∴當(dāng)∠C=時(shí),凹四邊形ACBD的面積最大,最大值為a2,此時(shí)BD=b-a.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,已知∠ABC=90°,AB上一點(diǎn)E,以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D,若AE=2cm,
AD=4cm.
(1)求:⊙O的直徑BE的長;
(2)計(jì)算:△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點(diǎn),且AB=AD,2AB=
3
BD,BC=2BD,則sinC的值為( 。
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,設(shè)
AB
=a
,
AC
=b
,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為P.
(Ⅰ)若
AP
=λa+μb
,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對(duì)角線,作平行四邊形ANPM,求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,∠B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3.
(1)求∠ADC的大。
(2)求AB的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,已知
BD
=2
DC
,則
AD
=( 。

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