Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．則

b-2

a-1

的取值范圍是______．

Answer 1

解；∵x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+2b，
∵x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

2b＞0 a+2b+1＜0 2a+2b+4＞0

，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=

b-2

a-1

，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P（a，b）到定點(diǎn)A（1，2）兩點(diǎn)之間斜率的取值范圍，
由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)B（-3，1）時(shí)，直線AB的斜率最小，此時(shí)kAB=

1-2

-3-1

=

1

4

，
可知當(dāng)P位于點(diǎn)D（-1，0）時(shí)，直線AD的斜率最大，此時(shí)kAD=

0-2

-1-1

=1，
∴

1

4

＜z＜1，
則

b-2

a-1

的取值范圍是(

1

4

，1)．
故答案為：(

1

4

，1)．