Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4，圓M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B，D兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A），直線AB，AD的斜率分別為k1 ， k2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)r變化時(shí)，①求k1k2的值；②試問(wèn)直線BD是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題設(shè)知， ， ，又a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=1．

故所求橢圓C的方程是

（2）

解：AB：y=k1x+1，則有 ，化簡(jiǎn)得 ，

對(duì)于直線AD：y=k2x+1，同理有 ，

于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的兩實(shí)根，故k1k2=1．

考慮到r→1時(shí)，D是橢圓的下頂點(diǎn)，B趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故BD若過(guò)定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在y軸上．

由 ，得 ，于是有 ．

直線BD的斜率為 ，

直線BD的方程為 ，

令x=0，得 ，

故直線BD過(guò)定點(diǎn)

【解析】（1）利用已知條件求出a，b即可求解橢圓C的方程．（2）AB：y=k1x+1，則有 ，化簡(jiǎn)得 ，直線AD：y=k2x+1，同理有 ，推出k1 ， k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的兩實(shí)根，故k1k2=1．考慮到r→1時(shí)，D是橢圓的下頂點(diǎn)，B趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故BD若過(guò)定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在y軸上．聯(lián)立直線與橢圓方程，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線BD的方程，推出直線BD過(guò)定點(diǎn)．