Question

18．已知中心在坐標系原點，焦點在y軸上的橢圓離心率為$\frac{1}{2}$，直線y=2與橢圓的兩個交點間的距離為6．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過下焦點的直線l交橢圓于A，B兩點，點P為橢圓的上頂點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得2c=a①，進而可得橢圓過點（3，2），代入橢圓方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$②，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)分析可得a²、b²的值，將a²、b²的值代入橢圓的方程即可得答案；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-2．聯(lián)立直線與橢圓的方程可得（4+3k²）x²-12kx-36=0，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得|AB|的長，由點到直線的距離公式可得P（0，4）到直線AB的距離d，則可以用k表示△PAB面積S，利用基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，因為$e=\frac{1}{2}$，所以2c=a①
又直線y=2與橢圓的兩個交點間的距離為6．
所以橢圓過點（3，2），代入橢圓方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$②
又a²=b²+c²③
由①②③得a²=16，b²=12
所以橢圓方程為$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-2
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1}\end{array}}\right.$得（4+3k²）x²-12kx-36=0
顯然△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則${x_1}+{x_2}=\frac{12k}{{4+3{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{36}{{4+3{k^2}}}$，
所以$\begin{array}{l}|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{12k}{{4+3{k^2}}}）}^2}+4×\frac{36}{{4+3{k^2}}}}\end{array}$=$24×\frac{{1+{k^2}}}{{4+3{k^2}}}$
又點P（0，4）到直線AB的距離為$d=\frac{6}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
所以$S=\frac{1}{2}|{AB}|×d=72×\frac{{\sqrt{1+{k^2}}}}{{4+3{k^2}}}$，
令$t=\sqrt{1+{k^2}}$，則t≥1，k²=t²-1
所以$S=\frac{72t}{{4+3（{t^2}-1）}}=\frac{72t}{{3{t^2}+1}}=\frac{72}{{3t+\frac{1}{t}}}$
因為t≥1，$3t+\frac{1}{t}$在[1，+∞）上單調(diào)遞增
所以當t=1時，即k=0時，$3t+\frac{1}{t}$取最小值4
所以S_max=18．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵要求出橢圓的標準方程．