已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y）（x，y＞0），f（2）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）求滿足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范圍．

解：（1）∵f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），
∴f（1）=0．
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1
f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2×1=2，
所以f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤2=f（4）
已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)
所以f（0）＜f（x2-3x）≤f（4）
即0＜x2-3x≤4，
解得：3＜x≤4．
綜上：{x|3＜x≤4}．
分析：（1）由f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），知f（1）=0．．
（2）由f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，知f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2×1=2，所以f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]＜2=f（4）．已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，所以f（0）＜f（x2-3x）＜f（4）．由此能求出x的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查抽函象數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式f（xy）=f（x）+f（y）（x，y＞0），f（2）=1的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計(jì)算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A，B，若m變化時(shí)，AB的長度是一個(gè)定值，則AB的值是（　�。�

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