Question

已知拋物線x²=4y上的點(diǎn)P（非原點(diǎn)）處的切線與x軸，y軸分別交于Q，R兩點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若

PQ

=λ

PR

，求λ．
（Ⅱ）若拋物線上的點(diǎn)A滿足條件

PF

=μ

FA

，求△APR的面積最小值，并寫(xiě)出此時(shí)的切線方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)P(t，

t2

4

)(t≠0)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得PR的直線方程為y-

t2

4

=

t

2

(x-t)，可求Q，R，由

PQ

=λ

PR

，代入可求λ
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程為：y-1=

t2 4 -1

t

x，聯(lián)立方程得

y-1= t2 4 -1 t x 4y=x2

，解之得A，而S△APR=

1

2

|RF||xp-xA|=

1

2

|1+

t2

4

|•|t+

4

t

|=

1

2

|

t3

4

+2t+

t

4

|，
令f(t)=

1

2

(

t3

4

+2t+

4

t

)(t＞0)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求f（t）的最小值及取得最小值時(shí)的t，從而可求切線方程

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P(t，

t2

4

)(t≠0)，則PR的直線方程為y-

t2

4

=

t

2

(x-t)（切線的斜率k=

t

2

），
令y=0得Q(

t

2

，0)，令x=0得R（0，-

t2

，4

）
∴

PQ

=(-

t

2

，-

t2

4

)，

PR

=(-t，-

t2

2

)，
所以λ=

1

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程為：y-1=

t2 4 -1

t

x，
聯(lián)立方程得

y-1= t2 4 -1 t x 4y=x2

，解之得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

4

t

，

4

t2

)，S△APR=

1

2

|RF||xp-xA|=

1

2

|1+

t2

4

|•|t+

4

t

|=

1

2

|

t3

4

+2t+

t

4

|，
令f(t)=

1

2

(

t3

4

+2t+

4

t

)(t＞0)，f′(t)=

1

2

(

3

4

t2+2-

4

t2

)，
令f'（t）=0得t=

2

3

3

，當(dāng)t∈(0，

2

3

3

)時(shí)，f'（t）＜0，當(dāng)t∈(

2

3

3

，+∞)時(shí)，f'（t）＞0，
所以，f（t）當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

3

3

時(shí)取最小值

16

9

3

，
因?yàn)?span id="dx8kobu" class="MathJye">

1

2

|

t3

4

+2t+

4

t

|是關(guān)于t的偶函數(shù)，同樣地，當(dāng)t=-

2 3

3

時(shí)，也取得最小值

16

9

3

，
此時(shí)切線PR的方程為y=

3

3

x-

1

3

或y=-

3

3

x+

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的最值及直線與曲線相交關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于綜合性試題