Question

8．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足6S_n=9a_n-1．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，且在x=$\frac{π}{6}$處取得最大值，最大值為a₃，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$化簡6S_n=9a_n-1，得到數列的遞推公式后，由等比數列的定義判斷出數列{a_n}是等比數列，由等比數列的通項公式求出a_n；
（Ⅱ）由周期公式求出ω，由（1）求出最大值即可求出A，由正弦函數的最大值列出方程，由特殊角的三角函數值和φ的范圍求出φ，可得f（x）的解析式．

解答 解：（I）由題意得6S_n=9a_n-1，
當n=1時，6S₁=9a₁-1，解得a₁=$\frac{1}{3}$，
當n≥2時，由6S_n=9a_n-1 得，6S_n-1=9a_n-1-1，
兩式相減得，6a_n=9a_n-9a_n-1，即a_n=3a_n-1，
∴數列{a_n}是以3為公比，$\frac{1}{3}$為首項的等比數列，
所以${a}_{n}=\frac{1}{3}×{3}^{n-1}={3}^{n-2}$；…（6分）
（II）∵f（x） 的周期為$\pi$，∴ω=2，
由（I）知a₃=3，即最大值為3，所以 A=3，
∵f（x） 在$x=\frac{π}{6}$ 處取得最大值，∴$sin（{2×\frac{π}{6}+φ}）=1$，
則φ+$\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，得φ=$\frac{π}{6}+2kπ（k∈Z）$，
∵$0＜φ＜\pi$，∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴函數f（x） 的解析式為$f（x）=3sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．…（12分）

點評 本題考查了數列前n項和與通項之間的關系式：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，等比數列的定義、前n項和公式，以及正弦函數的解析式與性質，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．