Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時(shí)）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時(shí)）.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)．

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意, ：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù), 可設(shè)為，將與代入求出即可；（Ⅱ）分段函數(shù)最值分段求, 當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為,當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì),求出最大值,然后比較,誰最大為誰.
試題解析：（Ⅰ）由題意：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得,故函數(shù)的表達(dá)式為
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得,當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值．
綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值，
即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)．