在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2上異于坐標(biāo)原點O的兩個不同動點A、B滿足AO⊥BO，如圖．

(1)求△AOB的重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程．

(2)△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)設(shè)△AOB的重心G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　則∵OA⊥OB，

　　∴x1x2＋y1y2＝0．

　　又A、B在拋物線上，

　　∴y1＝x12，y2＝x22．

　　∴(x1x2)2＋x1x2＝0．

　　∵A、B不同于坐標(biāo)原點O，

　　∴x1x2≠0．∴x1x2＝－1．

　　∴y1＋y2＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，

　　即3y＝(3x)2＋2．

　　∴y＝3x2＋．

　　此即重心G的軌跡方程．

　　(2)S△AOB＝|OA|·|OB|＝

　�。�．

　　由(1)知x1x2＝－1，y1y2＝1且y1＝x12，y2＝x22．

　　∴S△AOB＝．

　　∵y＝3x2＋，

　　∴y≥且當(dāng)x＝0時，y＝．

　　∴S△AOB≥＝1．

　　∴△AOB面積存在最小值，且最小值為1．


提示：

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問題、最值問題，考查推理運算能力及綜合運用知識解題能力．利用重心坐標(biāo)公式及拋物線的性質(zhì)解答本題．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案