Question

14．如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10$\sqrt{7}$cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG，E₁G₁的長(zhǎng)分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長(zhǎng)度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）
（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC₁上，求l沒入水中部分的長(zhǎng)度；
（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG₁上，求l沒入水中部分的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)玻璃棒在CC₁上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，過(guò)N作NP∥MC，交AC于點(diǎn)P，推導(dǎo)出CC₁⊥平面ABCD，CC₁⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推導(dǎo)出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度．
（2）設(shè)玻璃棒在GG₁上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥EG，交EG于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥E₁G₁，交E₁G₁于點(diǎn)Q，推導(dǎo)出EE₁G₁G為等腰梯形，求出E₁Q=24cm，E₁E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=$\frac{3}{5}$，由此能求出玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）設(shè)玻璃棒在CC₁上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，
在平面ACM中，過(guò)N作NP∥MC，交AC于點(diǎn)P，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，∴CC₁⊥平面ABCD，
又∵AC?平面ABCD，∴CC₁⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM²=AC²+MC²，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{NP}{MC}$，$\frac{AN}{40}=\frac{12}{30}$，得AN=16cm．
∴玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為16cm．
（2）設(shè)玻璃棒在GG₁上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，
在平面E₁EGG₁中，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥EG，交EG于點(diǎn)P，
過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥E₁G₁，交E₁G₁于點(diǎn)Q，
∵EFGH-E₁F₁G₁H₁為正四棱臺(tái)，∴EE₁=GG₁，EG∥E₁G₁，
EG≠E₁G₁，
∴EE₁G₁G為等腰梯形，畫出平面E₁EGG₁的平面圖，
∵E₁G₁=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E₁Q=24cm，
由勾股定理得：E₁E=40cm，
∴sin∠EE₁G₁=$\frac{4}{5}$，sin∠EGM=sin∠EE₁G₁=$\frac{4}{5}$，cos$∠EGM=-\frac{3}{5}$，
根據(jù)正弦定理得：$\frac{EM}{sin∠EGM}$=$\frac{EG}{sin∠EMG}$，∴sin$∠EMG=\frac{7}{25}$，cos$∠EMG=\frac{24}{25}$，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=$\frac{3}{5}$，
∴EN=$\frac{NP}{sin∠GEM}$=$\frac{12}{\frac{3}{5}}$=20cm．
∴玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．