【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求的單調(diào)性；

（2）若，對于任意，是否存在與有關(guān)的正常數(shù)，使得成立？如果存在，求出一個符合條件的；否則說明理由．

【答案】（1）當(dāng)時,在上的單調(diào)遞增；當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；（2）存在與有關(guān)的正常數(shù)

【解析】

（1）求導(dǎo)可得,分別討論,,時的情況,進而判斷單調(diào)性即可；

（2）存在與有關(guān)的正常數(shù)使得,即,則,設(shè),滿足即可,利用導(dǎo)數(shù)可得,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)性質(zhì)即可求解

（1）,

①當(dāng)時,恒成立,所以在上的單調(diào)遞增；

②當(dāng)時,,,所以在上的單調(diào)遞增；

③當(dāng)時,令,得,

當(dāng)時,,單調(diào)遞減；

當(dāng)時,,單調(diào)遞增；

綜上所述：當(dāng)時,在上的單調(diào)遞增；

當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

（2）存在,

當(dāng)時,,

設(shè)存在與有關(guān)的正常數(shù)使得,即

,

需求一個,使成立,只要求出的最小值,滿足,

∵,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

∴,

只需證明在內(nèi)成立即可,

令,

,

∴在單調(diào)遞增,

∴,

所以,故存在與有關(guān)的正常數(shù)使成立

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）證明：在上有三個零點.

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【題目】把方程表示的曲線作為函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的有（ ）

A.的圖象不經(jīng)過第一象限

B.在上單調(diào)遞增

C.的圖象上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值為

D.函數(shù)不存在零點

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，及拋物線方程為，點在拋物線上，則使得為直角三角形的點個數(shù)為（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上存在極大值，求的取值范圍；

（2）若軸是曲線的一條切線，證明：當(dāng)時，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，證明：在上恒成立；

（2）若函數(shù)有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線在y軸上的截距為.

（1）求a；

（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；

（3）設(shè)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒有；

（1）求的表達式；

（2）設(shè)不等式，的解集為，且，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若方程的解集為，求實數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】市場上有一種新型的強力洗衣粉，特點是去污速度快，已知每投放（且）個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時，它才能起有效去污的作用.

（1）若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可能達幾分鐘？

（2）若先投放2個單位的洗衣液，6分鐘后投放個單位的洗衣液，要使接下來的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)： 取）.

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